Доработка раздела по регулярным языкам (#22).

Author: gsvgit

tex/RegularLanguages.tex

@@ -98,7 +98,7 @@ \section{Регулярные выражения}
 \section{Конечные автоматы}
 
 \emph{Конечный автомат} (Finite State Machine, FSM)~--- вычислительная машина, которая имеет конечный набор состояний и может совершать переходы между ними, основываясь на прочитанных входных данных.
-Важно отметить, что никакой дополнительной памяти классический конечный автомат не имеет и дополнительных действий (кроме чтения входной ленты) не производит %
+Важно отметить, что никакой дополнительной памяти классический конечный автомат не имеет и дополнительных действий (кроме чтения входной ленты) не производит%
 \sidenote{Cуществуют автоматы с записью на отдельную (выходную) ленту (например, автоматы Мили~\cite{6771467}) и другие, основанные на конечных автоматах, вычислители, производящие дополнительные действия.
 Например, расширенные конечные автоматы (Extended Finite State Machine), которые умеют работать с памятью (переменными)~\cite{Alagar2011, foster.ea:efsm:2020}.}.
 
@@ -445,10 +445,10 @@ \section{Построение конечного автомата по регу
     Стартовому состоянию соответствует выражение $a(a \mid (b \ b))^*$.
     Так как $\emph{IsNull}(a(a \mid (b \ b))^*) = \emph{false}$, это состояние не является финальным.
     Вычислим производные по всем символам из алфавита:
-    \[
-        \partial_a(a(a \mid (b \ b))^*) = (a \mid (b \ b))^*, \quad
-        \partial_b(a(a \mid (b \ b))^*) = \varnothing.
-    \]
+    \begin{align*}
+        \partial_a(a(a \mid (b \ b))^*) & = (a \mid (b \ b))^*, \\
+        \partial_b(a(a \mid (b \ b))^*) & = \varnothing.
+    \end{align*}
     В результате появляются два новых состояния: $(a \mid (b \ b))^*$ и $\varnothing$.
     Второе состояние соответствует пустому языку и является \emph{поглощающим} (или \emph{дьявольским}) состоянием, а первое~--- финальным, так как $\emph{IsNull}((a \mid (b \ b))^*) = \emph{true}$.
     На рисунке~\ref{fig:regexp_to_dfa_example_step_1} показан автомат после первого шага алгоритма.
@@ -470,10 +470,10 @@ \section{Построение конечного автомата по регу
     \end{marginfigure}
 
     На следующем шаге вычислим производные для состояния $(a \mid (b \ b))^*$:
-    \[
-        \partial_a((a \mid (b \ b))^*) = (a \mid (b \ b))^*, \quad
-        \partial_b((a \mid (b \ b))^*) = b(a \mid (b \ b))^*.
-    \]
+    \begin{align*}
+        \partial_a((a \mid (b \ b))^*) & = (a \mid (b \ b))^*, \\
+        \partial_b((a \mid (b \ b))^*) & = b(a \mid (b \ b))^*.
+    \end{align*}
     Таким образом, появляется новое состояние $b(a \mid (b \ b))^*$, а автомат принимает вид, показанный на рисунке~\ref{fig:regexp_to_dfa_example_step_2}.
 
     \begin{marginfigure}
@@ -498,10 +498,10 @@ \section{Построение конечного автомата по регу
     \end{marginfigure}
 
     Осталось обработать состояние $b(a \mid (b \ b))^*$:
-    \[
-        \partial_a(b(a \mid (b \ b))^*) = \varnothing, \quad
-        \partial_b(b(a \mid (b \ b))^*) = (a \mid (b \ b))^*.
-    \]
+    \begin{align*}
+        \partial_a(b(a \mid (b \ b))^*) & = \varnothing, \\
+        \partial_b(b(a \mid (b \ b))^*) & = (a \mid (b \ b))^*.
+    \end{align*}
     В результате добавляются новые переходы, и автомат принимает окончательный вид (рисунок~\ref{fig:regexp_to_dfa_example_step_3}).
 
     \begin{marginfigure}
@@ -534,7 +534,7 @@ \section{Построение конечного автомата по регу
 
 \section{Построение регулярного выражения по конечному автомату}
 
-Алгоритм Клини(?)
+Для построения регулярного выражения по конечному будем использовать вариацию классической конструкции, часто связываемой с теоремой Клини о эквивалентности языков, задаваемых регулярными выражениями и конечными автоматами, для доказательства которой нужно, в частности, построить регулярное выражение по конечному автомату.
 Регулярное выражение будем строить по недетерминированному автомату специального вида: потребуем, чтобы у него было ровно одно стартовое состояние и ровно одно финальное%
 \sidenote{Любой автомат можно привести к такому виду.
 Предположим, что в автомате два стартовых состояния $q_0^s$ и $q_1^s$.
@@ -770,7 +770,8 @@ \section{Лево(право)линейные грамматики}
     Q_1 \to b Q_2  \quad & \quad Q_2 \to b Q_1 \\
                      \quad & \quad Q_1 \to \varepsilon.
 \end{align*}
-Таким образом, полученная грамматика порождает тот же язык, что и данный автомат.
+Таким образом, мы получили грамматику, которая порождает тот же язык, что и исходный автомат%
+\sidenote{В качестве упражнения можно взять несколько цепочек, принадлежащих языку, и проследить, как переходы в автомате в процессе раскознования цепочки соотносятся с применением правил грамматики при её выоде.}.
 \end{example}
 
 \begin{marginfigure}
@@ -800,7 +801,17 @@ \section{Лево(право)линейные грамматики}
 \end{align*}
 Построим по ней конечный автомат.
 
-Множество состояний автомата соответствует нетерминалам грамматики, а также добавим дополнительное состояние для цепочки из двух символов $b$:
+Первым шагом разобьём продукцию $N_1 \to b b N_1$ на две, введя дополнительный нетерминал.
+Новая грамматика будет иметь следующий вид.
+
+\begin{align*}
+    S \to a N_1, \quad
+    N_1 \to a N_1 \mid b N_2 \mid \varepsilon , \quad
+    N_2 \to b N_1.
+\end{align*}
+
+Теперь можно заняться конструированием автомата.
+Множество состояний автомата соответствует нетерминалам грамматики:
 \begin{align*}
     Q = \{S, N_1, N_2\}.
 \end{align*}
@@ -911,7 +922,8 @@ \section{Замкнутость регулярных языков относит
     \[
         \delta^3\big((q^1, q^2), t\big) = \big(\delta^1(q^1, t),\; \delta^2(q^2, t)\big).
     \]
-    Тогда
+    Тогда%
+    \sidenote{Аккуратно доказать это можно расписав переходы между конфигурациями соответствующих автоматов при обработке цепочки.}
     \[
         w \in L(M_3) \iff w \in L_1 \text{ и } w \in L_2,
     \]
@@ -933,40 +945,40 @@ \section{Замкнутость регулярных языков относит
     Регулярные языки замкнуты относительно обеих операций, следовательно, и относительно разности тоже замкнуты.
 \end{proof}
 
-\begin{example}[Конструкция произведения]\label{ex:product-automaton}
-    Пусть $M_1$ и $M_2$~--- детерминированные автоматы над алфавитом $\Sigma=\{a,b\}$.
-    В автомате $M_1$ есть переходы
-    $q^1 \xrightarrow{a} p^1$, $q^1 \xrightarrow{b} p^1$ и $p^1 \xrightarrow{b} p^1$,
-    а в автомате $M_2$~--- переходы
-    $q^2 \xrightarrow{a} q^2$ и $q^2 \xrightarrow{b} p^2$.
-    Тогда в автомате произведения $M_1 \times M_2$ возникают переходы:
-    \begin{align*}
-        (q^1, q^2) \xrightarrow{a} (p^1, q^2), \quad
-        (p^1, q^2) \xrightarrow{b} (p^1, p^2), \quad
-        (q^1, q^2) \xrightarrow{b} (p^1, p^2),
-    \end{align*}
-    что проиллюстрировано на рис.~\ref{fig:product-automaton-example}.
-    Принимающими являются пары из принимающих состояний обоих автоматов.
-\end{example}
-
-
-\begin{marginfigure}
-    \centering
-    \scalebox{0.64}{
-    \begin{tikzpicture}
-        \node[elliptic state,initial] (q0) {$(q^1, q^2)$};
-        \node[elliptic state] (p0) [right=of q0] {$(p^1, q^2)$};
-        \node[elliptic state,accepting] (p1) [below right=of p0] {$(p^1, p^2)$};
-
-        \path[->]
-            (q0) edge[bend left, above] node {$a$} (p0)
-            (p0) edge[bend left, right] node {$b$} (p1)
-            (q0) edge[bend right, below left] node[swap] {$b$} (p1);
-    \end{tikzpicture}}
-    \caption{Пример переходов в произведении автоматов.}
-    \label{fig:product-automaton-example}
-\end{marginfigure}
-
+%\begin{example}[Конструкция произведения]\label{ex:product-automaton}
+%    Пусть $M_1$ и $M_2$~--- детерминированные автоматы над алфавитом $\Sigma=\{a,b\}$.
+%    В автомате $M_1$ есть переходы
+%    $q^1 \xrightarrow{a} p^1$, $q^1 \xrightarrow{b} p^1$ и $p^1 \xrightarrow{b} p^1$,
+%    а в автомате $M_2$~--- переходы
+%    $q^2 \xrightarrow{a} q^2$ и $q^2 \xrightarrow{b} p^2$.
+%    Тогда в автомате произведения $M_1 \times M_2$ возникают переходы:
+%    \begin{align*}
+%        (q^1, q^2) \xrightarrow{a} (p^1, q^2), \quad
+%        (p^1, q^2) \xrightarrow{b} (p^1, p^2), \quad
+%        (q^1, q^2) \xrightarrow{b} (p^1, p^2),
+%    \end{align*}
+%    что проиллюстрировано на рис.~\ref{fig:product-automaton-example}.
+%    Принимающими являются пары из принимающих состояний обоих автоматов.
+%\end{example}
+%
+%
+%\begin{marginfigure}
+%    \centering
+%    \scalebox{0.64}{
+%    \begin{tikzpicture}
+%        \node[elliptic state,initial] (q0) {$(q^1, q^2)$};
+%        \node[elliptic state] (p0) [right=of q0] {$(p^1, q^2)$};
+%        \node[elliptic state,accepting] (p1) [below right=of p0] {$(p^1, p^2)$};
+%
+%        \path[->]
+%            (q0) edge[bend left, above] node {$a$} (p0)
+%            (p0) edge[bend left, right] node {$b$} (p1)
+%            (q0) edge[bend right, below left] node[swap] {$b$} (p1);
+%    \end{tikzpicture}}
+%    \caption{Пример переходов в произведении автоматов.}
+%    \label{fig:product-automaton-example}
+%\end{marginfigure}
+%
 
 
 %\section{Вопросы и задачи}