راه حل مسئله ی بنز یا بز

[Beyrati-m]

مسئله ی مطرح شده در نوتبوک احتمال شرطی و تئوری(Notebooks/1 - Probability Basics/3 - Conditional Probability/Conditional Probability-Bayes Theorem.ipynb) بیز به دلایل زیر با روش احتمال شرطی و تئوری بیز قابل حل نمی باشد:

با توجه به فرض مسئله دانشی که ما داریم این است که احتمال وقوع رویداد B ( وجود خودرو پشت درب B) صفر است یعنی P(B) = 0 چرا که مجری آن را اعلام کرده است، بنابراین با توجه به تعریف احتمال شرطی، امکان استفاده از احتمال شرطی برای محاسبه ی P(HB|B) وجود ندارد! و نمی توان از احتمال شرطی برای حل این مسئله استفاده کرد.
در صورتی که این امکان وجود داشته باشد باید بتوان مسئله را از طریق متمم B نیز حل کرد! و جواب یکسان باشد، اما جواب متفاوتی به دست خواهد آمد:
اگر B پشامد وجود خودرو پشت درب B باشد، بنابراین B' پشامد آن است که خودرو پشت درب B نباشددر نتیجه:
احتمال اینکه خودرو پشت درب A باشد و پشت B نباشد:
P(B'|A) = 1
و به همین ترتیب احتمال اینکه خودرو پشت B باشد و پشت B نباشد و احتمال اینکه خودرو پشت C باشد و پشت B نباشد به ترتیب برابرند با:
P(B'|B) = 0
P(B'|C) = 1

در نتیجه احتمال اینکه خودرو پشت B نباشد و درب A باشد برابر است با:

P(A|B') = (P(A) * P(B'|A)) / (P(B'|A) * P(A) + P(B'|B) * P(B) + P(B'|C) * P(C)) = (1/3 * 1) / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3) = 1 / 2

و احتمال اینکه خودرو پشت درب B نباشد و پشت درب C باشد نیز برابر است با:
P(C|B') = (P(C) * P(B'|C)) / (P(B'|A) * P(A) + P(B'|B) * P(B) + P(B'|C) * P(C)) = (1/3 * 1) / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3) = 1 / 2

#Notebooks/1 - Probability Basics/3 - Conditional Probability/Conditional Probability-Bayes Theorem.ipynb