From 79046d73c0d04bafa4a1b92250c427aa29ad0307 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Godim26 Date: Tue, 21 Jan 2025 21:51:00 -0300 Subject: [PATCH 1/2] Update cap_apl_derivadas.tex --- CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex | 68 ++++++++++++++++++++ 1 file changed, 68 insertions(+) diff --git a/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex b/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex index db584f3..acedb81 100644 --- a/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex +++ b/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex @@ -4,8 +4,76 @@ \chapter{Aplicações das derivadas}\label{cap:apl_derivadas}\index{aplicações \emconstrucao + A ideia deste capítulo é desenvolver algumas aplicações a partir do que foi construída anteriormente. Além disso, esta seção também busca fornecer ao leitor uma justificativa teórica do porquê as derivadas são importantes. + + É interessante sempre ter em mente que a derivada de uma função $f$ em um ponto é uma propriedade local, i.e., que determina o comportamento da função "perto" do ponto em questão. Contudo, em uma primeira viagem, pode não ser exatamente nítido de que maneira podemos relacionar uma propriedade local (a derivada da $f$) com uma global (o comportamento da $f$). Esta relação entre o global e o local ficará mais evidente ao decorrer do texto, principalmente quando for abordado o Teorema Fundamental do Cálculo. Entretanto, este capítulo já é um bom começo para entender a importância do conceito de derivada e como ela pode ajudar no estudo de funções. + + Antes de realmente mergulhar nas contas, é importante destacar que seria interessante o leitor manter sempre consigo a ideia que deu luz ao conceito de derivada: a reta tangente. Ter isto em mente a todo o momento facilita a visualização e ajuda a criar uma intuição sobre o assunto. Abaixo, provaremos uma série de propriedades que, ao enunciadas, realmente "parecem" ser verdadeiras. Porém, "parecem" apenas sobre a perspectiva de quem realmente domina o alicerce fundamental sobre o qual a derivada foi construída. E desenvolver essa intuição é essencial para a compreensão do assunto como um todo. + \section{Teorema do valor médio}\index{teorema!do valor médio} \construirSec +Vamos primeiramente enunciar o teorema: + \begin{teo}[Teorema do valor médio] + Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, então existe $c \in (a,b)$ tal que: + $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$ + \end{teo} + Antes de passar diretamente para a prova do teorema, é interessante que o leitor entenda o sentido da equação a acima. Observe que o lado direito representa a taxa de variação instantânea em um ponto, enquanto o lado esquerdo, a taxa de variação média no intervalo. Logo, dentro das hipóteses do teorema, estamos afirmando que a taxa de variação média coincide com a instantânea em pelo menos um ponto do intervalo. + + Para entender a importância disto, vamos estudar primeiramente um caso discreto: imagine que queremos calcular a média aritmética de uma certa quantidade de números reais positivos. Nesta situação, é possível que nenhum valor da amostra coincida com o valor da média. Um exemplo simples onde isso acontece é com os números $8,10$, que possuem média $9$. O problema aqui é que (dentre possíveis outras coisas) estamos ``pulando'' valores, justamente por estarmos trabalhando em um contexto discreto. No caso contínuo, isso não acontece. Sabemos que dada uma função contínua e dois elementos de sua imagem, ela sempre assume todos os valores entre esses elementos (teorema do valor intermediário). + + Veremos que atacar este problema utilizando a continuidade da função será o caminho que nos permitirá demonstrar o teorema. A maneira mais comum de prová-lo é utilizando um teorema auxiliar, chamado teorema de Rolle, que nada mais é que um caso especial do nosso objetivo principal. + \begin{teo}[Teorema de Rolle] + Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, com $f(a) = f(b)$. Então existe $c \in (a,b)$ tal que: + $$f'(c) = 0$$ + \end{teo} + \begin{proof}[Prova do teorema de Rolle] + Como $f$ é contínua, podemos separar a demonstração em 3 casos: + \begin{description} + \item[Caso 1:] $f$ assume o seu mínimo em $(a,b)$: + + Digamos que $f$ assuma seu mínimo em $c \in (a,b)$, logo $c$ é ponto crítico de $f$. Portanto, $f'(c)=0$. + \item[Caso 2:] $f$ assume o seu máximo em $(a,b)$: + + Analogamente, suponha que $f$ assuma seu máximo em $c \in (a,b)$, logo $c$ é ponto crítico de $f$ e, da mesma maneira, temos $f'(c)=0$. + \item[Caso 3:] $f$ não assume o seu máximo nem mínimo em $(a,b)$: + + Neste caso, observe que $f$ deve assumir seu máximo em algum dos pontos $a$ ou $b$, assim como também deve assumir seu mínimo nesses pontos. Como $f(a) = f(b)$, temos que o máximo e o mínimo de $f$ coincidem em $[a,b]$, logo $f$ é constante em $[a,b]$, ou seja $f'(x)=0$ para todo $x \in (a,b)$. + + Em cada um dos casos, garantimos a existência de um $c\in(a,b)$ tal que $f'(c) =0$, o que conclui a demonstração. + \end{description} + \end{proof} + + Agora, com esta ferramenta, podemos prosseguir com a demonstração de um dos teoremas mais importantes dessa seção: + + \begin{proof}[Prova do teorema do valor médio] + Vamos definir $g:[a,b]\to\mathbb{R}$, tal que: + $$g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$$ + observe que $g$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, pois é uma combinação linear de funções com estas propriedades. Ainda: + $$g(a)= f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(a-a) = f(a)$$ + $$g(b)= f(b) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(b-a) = f(b) - (f(b)-f(a)) = f(a)$$ + + Logo $g(a)=g(b)$. Portanto, pelo teorema de Rolle, temos que existe $c\in(a,b)$, tal que $g'(c)=0$. Agora, observe que: + + $$g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$ + Logo, temos: + $$g'(c)= 0 = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \iff f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$ + Com isso, obtivemos $c\in (a,b)$, tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$ e isto conclui a demonstração + \end{proof} + + Finalizamos a discussão sobre o Teorema do valor médio com um corolário importante. + \begin{cor} + Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$. Se $f'(x)=0$ para todo $x\in(a,b)$, então existe $A\in\mathbb{R}$, tal que $f(x)=A$ para todo $x\in[a,b]$. + \end{cor} + Em outras palavras, se a taxa de variação de uma função é nula, então ela não varia (obvio!). + + \begin{proof}[Prova] + Vamos mostrar que $f(x) = f(a) = A$ para todo $x\in[a,b]$.: + + Se $x=a$, a igualdade é trivial. Caso $x\in(a,b]$, então pelo teorema do valor médio, existe $c\in(a,x)$ tal que: + $$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(c) = 0$$ + Logo, $f(x) = f(a) = A$ para $x\in(a,b]$. Com isso, temos $f(x)= A$ para todo $x\in[a,b]$, finalizando a demonstração. + + \end{proof} \subsection*{Exercícios resolvidos} From 663fd6844a26347352188560a5c64a464ad9aced Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Godim26 Date: Tue, 21 Jan 2025 21:54:29 -0300 Subject: [PATCH 2/2] Update cap_apl_derivadas.tex --- CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex | 4 ++-- 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex b/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex index acedb81..5327e5a 100644 --- a/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex +++ b/CFUV/cap_apl_derivadas/cap_apl_derivadas.tex @@ -6,9 +6,9 @@ \chapter{Aplicações das derivadas}\label{cap:apl_derivadas}\index{aplicações A ideia deste capítulo é desenvolver algumas aplicações a partir do que foi construída anteriormente. Além disso, esta seção também busca fornecer ao leitor uma justificativa teórica do porquê as derivadas são importantes. - É interessante sempre ter em mente que a derivada de uma função $f$ em um ponto é uma propriedade local, i.e., que determina o comportamento da função "perto" do ponto em questão. Contudo, em uma primeira viagem, pode não ser exatamente nítido de que maneira podemos relacionar uma propriedade local (a derivada da $f$) com uma global (o comportamento da $f$). Esta relação entre o global e o local ficará mais evidente ao decorrer do texto, principalmente quando for abordado o Teorema Fundamental do Cálculo. Entretanto, este capítulo já é um bom começo para entender a importância do conceito de derivada e como ela pode ajudar no estudo de funções. + É interessante sempre ter em mente que a derivada de uma função $f$ em um ponto é uma propriedade local, i.e., que determina o comportamento da função ``perto'' do ponto em questão. Contudo, em uma primeira viagem, pode não ser exatamente nítido de que maneira podemos relacionar uma propriedade local (a derivada da $f$) com uma global (o comportamento da $f$). Esta relação entre o global e o local ficará mais evidente ao decorrer do texto, principalmente quando for abordado o Teorema Fundamental do Cálculo. Entretanto, este capítulo já é um bom começo para entender a importância do conceito de derivada e como ela pode ajudar no estudo de funções. - Antes de realmente mergulhar nas contas, é importante destacar que seria interessante o leitor manter sempre consigo a ideia que deu luz ao conceito de derivada: a reta tangente. Ter isto em mente a todo o momento facilita a visualização e ajuda a criar uma intuição sobre o assunto. Abaixo, provaremos uma série de propriedades que, ao enunciadas, realmente "parecem" ser verdadeiras. Porém, "parecem" apenas sobre a perspectiva de quem realmente domina o alicerce fundamental sobre o qual a derivada foi construída. E desenvolver essa intuição é essencial para a compreensão do assunto como um todo. + Antes de realmente mergulhar nas contas, é importante destacar que seria interessante o leitor manter sempre consigo a ideia que deu luz ao conceito de derivada: a reta tangente. Ter isto em mente a todo o momento facilita a visualização e ajuda a criar uma intuição sobre o assunto. Abaixo, provaremos uma série de propriedades que, ao enunciadas, realmente ``parecem'' ser verdadeiras. Porém, ``parecem'' apenas sobre a perspectiva de quem realmente domina o alicerce fundamental sobre o qual a derivada foi construída. E desenvolver essa intuição é essencial para a compreensão do assunto como um todo. \section{Teorema do valor médio}\index{teorema!do valor médio} \construirSec