Revisão para a prova

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🎓 Guia de Revisão Rápida para a Prova de Matemática

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I. Funções Exponenciais

• Definição: f(x) = a^x
  • Condições da Base (a): a ∈ ℝ, a > 0, e a ≠ 1.
• Características:
  • Domínio: ℝ (todos os números reais).
  • Imagem: ℝ+* (todos os números reais positivos).
  • Ponto Chave: O gráfico sempre passa por (0,1).
  • Assíntota Horizontal: Eixo Ox (y=0).
• Classificação (Crescimento/Decrescimento):
  • Crescente: Se a > 1.
  • Decrescente: Se 0 < a < 1.

Equações Exponenciais

• Princípio: Se a^x1 = a^x2 (com a > 0, a ≠ 1), então x1 = x2.

• Estratégias:

  1. Reduzir à Mesma Base: Tentar reescrever todos os termos com a mesma base.
  2. Substituição de Variável: Usar y = a^x para transformar a equação em uma forma polinomial (ex: quadrática).
  3. Propriedades de Potências: a^(m+n) = a^m ⋅ a^n, a^(m-n) = a^m / a^n.

• Exemplo Resolvido (E11): 2^(x+1) + 2^(x-1) = 40

  1. 2 ⋅ 2^x + (2^x / 2) = 40
  2. Multiplicar por 2: 4 ⋅ 2^x + 2^x = 80
  3. Agrupar: 5 ⋅ 2^x = 80
  4. Isolar 2^x: 2^x = 16
  5. Mesma base: 2^x = 2^4 => x = 4.
  6. Solução: S = {4}.

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II. Funções Logarítmicas

• Definição: log_a N = c <=> a^c = N
  • N: Logaritmando; a: Base; c: Logaritmo.
• Condições de Existência (C.E.): Para log_a N existir, DEVE-SE TER:
  • N > 0
  • a > 0
  • a ≠ 1
• Características da Função f(x) = log_a x:
  • Domínio: ℝ+* (todos os números reais positivos).
  • Imagem: ℝ (todos os números reais).
  • Ponto Chave: O gráfico sempre passa por (1,0).
  • Assíntota Vertical: Eixo Oy (x=0).

Propriedades Operatórias (MUITO IMPORTANTES)

1. Produto: log_a(M ⋅ N) = log_a M + log_a N
2. Quociente: log_a(M / N) = log_a M - log_a N
3. Potência: log_a M^α = α ⋅ log_a M
4. Mudança de Base: log_a N = log_b N / log_b a

Equações Logarítmicas

1. Primeiro passo: Determine as Condições de Existência (C.E.) para todos os logaritmos da equação.
2. Use as propriedades para simplificar a equação, se possível, para uma forma log_a P = E ou log_a P = log_a Q.
3. Converta:
   • Se log_a P = E, então a^E = P.
   • Se log_a P = log_a Q, então P = Q.
4. Resolva a equação algébrica resultante.
5. Verifique: As soluções encontradas DEVEM satisfazer as C.E. do passo 1.

• Exemplo Resolvido: log_2(x+7) - log_2(2x-1) = 2
  1. C.E.: x+7 > 0 => x > -7; 2x-1 > 0 => x > 1/2. Conclusão: x > 1/2.
  2. Propriedade do Quociente: log_2 ((x+7)/(2x-1)) = 2.
  3. Definição de Logaritmo: (x+7)/(2x-1) = 2^2 => (x+7)/(2x-1) = 4.
  4. Resolver: x+7 = 4(2x-1) => x+7 = 8x-4 => 11 = 7x => x = 11/7.
  5. Verificar C.E.: 11/7 ≈ 1.57, que é maior que 1/2. A solução é válida.
  6. Solução: S = {11/7}.

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III. Funções Quadráticas

• Definição: f(x) = ax^2 + bx + c, com a ≠ 0.
• Gráfico: Uma parábola.
• Concavidade:
  • Se a > 0: concavidade para cima (o vértice é um ponto de mínimo).
  • Se a < 0: concavidade para baixo (o vértice é um ponto de máximo).
• Vértice da Parábola (xv, yv):
  • xv = -b / (2a)
  • yv = f(xv) (substitua xv na função)

Transformações de Gráficos (Aplicável a qualquer função f(x))

Transformação	Regra da Nova Função	Efeito no Gráfico
Translação Vertical	y = f(x) + k	Desloca k unidades para cima (k>0) ou para baixo (k<0).
Translação Horizontal	y = f(x+h)	Desloca h unidades para a esquerda (h>0) ou para a direita (h<0).
Dilatação/Contração Vertical	y = a ⋅ f(x)	Dilata (a>1) ou contrai (0<a<1) verticalmente.
Reflexão no Eixo x	y = -f(x)	Reflete o gráfico em relação ao eixo Ox.
Reflexão no Eixo y	y = f(-x)	Reflete o gráfico em relação ao eixo Oy.

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IV. Funções Trigonométricas

• Círculo Unitário: Centro (0,0), raio 1. Ponto (x,y) no círculo define cos t = x e sen t = y.

Características Principais

Função	Domínio	Imagem	Período
sen t	ℝ	[-1, 1]	2π
cos t	ℝ	[-1, 1]	2π
tg t	x ≠ π/2 + kπ	ℝ	π
csc t = 1/sen t	x ≠ kπ	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)	2π
sec t = 1/cos t	x ≠ π/2 + kπ	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)	2π
cotg t = 1/tg t	x ≠ kπ	ℝ	π

Identidades Trigonométricas Essenciais

• Pitagórica Fundamental: sen² t + cos² t = 1
• Outras Pitagóricas: 1 + tg² t = sec² t; 1 + cotg² t = csc² t
• Quociente: tg t = sen t / cos t; cotg t = cos t / sen t
• Recíprocas: csc t = 1 / sen t; sec t = 1 / cos t; cotg t = 1 / tg t
• Ângulos Negativos: sen(-t) = -sen t; cos(-t) = cos t

Esboço de Gráficos de Seno e Cosseno (Forma y = A sen (Bx - C) + D)

1. Amplitude (|A|): Altura máxima e mínima da onda.
2. Período (P = 2π / |B|): Comprimento de um ciclo.
3. Deslocamento de Fase (Fase = C / B): Onde o ciclo "começa" (deslocamento horizontal).
4. Deslocamento Vertical (D): Posição da linha central da onda.

• Passos para Esboçar:

  • Determine A, B, C, D da função.
  • Calcule Amplitude, Período, Fase e Eixo Central.
  • Defina o intervalo de um ciclo: [Fase, Fase + Período].
  • Divida esse intervalo em 4 partes iguais para os pontos-chave (zeros, máximos, mínimos).
  • Esboce a onda usando esses pontos.

• Exemplo (21.7): u = 2 sen (5t - π)

  • A=2, B=5, C=π, D=0.
  • Amplitude: 2. Período: 2π/5. Fase: π/5. Eixo central: u=0.
  • Ciclo começa em t = π/5 e termina em t = π/5 + 2π/5 = 3π/5.
  • Pontos-chave:
    • t = π/5 (u=0)
    • t = 3π/10 (u=2, Máximo)
    • t = 2π/5 (u=0)
    • t = π/2 (u=-2, Mínimo)
    • t = 3π/5 (u=0, Fim do ciclo)