560. Subarray Sum Equals K

subarray-sum-equals-k/main.md

@@ -0,0 +1,99 @@
+## Step1
+素朴なアプローチとしてiから始まってjで終わるsubarrayの合計を計算するやり方がある. このとき、nums[j]には負の値も含まれるので, 途中でbreakすることができない.
+計算量O(n^2)
+```py
+class Solution:
+    def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
+        count = 0
+        total = 0
+        for i in range(len(nums)):
+            total = 0
+            for j in range(i, len(nums)):
+                total += nums[j]
+                if total == k:
+                    count += 1
+
+        return count
+```
+以上のプログラムだとTLEになる.
+二重ループを一重ループにしたいのでそのためにループ間で何の情報を保持したら良いかを考える. 
+iから始まるsubarrayで, `sum(nums[j:i])`の値がkになるjを探していると理解する. 
+累積和（ヒントを見た）を使うと, sum(nums[j:i]) = cumsum[i] - cumsum[j]になる. iを用いてjを特定するには, i, kが与えられているときにcumsum[j] = cumsum[i] - kとなるjを探す問題になるが,配列は負の値も含むためcumsum[j]は複数ある可能性がある. 累積和をkey, その累積和の出現回数をvalueとする辞書を用いる.
+
+答えを見ながら以下のように書いた.
+```py
+class Solution:
+    def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
+        count = 0
+        total = 0
+        cumsum_to_freq = defaultdict(int)
+        cumsum_to_freq[0] = 1
+        for num in nums:
+            total += num
+            if total - k in cumsum_to_freq:
+                count += cumsum_to_freq[total - k]
+
+            cumsum_to_freq[total] += 1
+
+        return count
+```
+こう書くとif文を省略可
+```diff
+--- if total - k in cumsum_to_freq:
+---     count += cumsum_to_freq[total - k]
++++ count += cumsum_to_freq.get(total - k, 0) 
+```
+- 累積和を先にメモしておく方法もある.（空間計算量が増加）
+
+## Step2 他の人のコード・コメントを見る
+https://discord.com/channels/1084280443945353267/1183683738635346001/1192145962479665304
+例えを用いて問題を理解する.
+
+「山登りの標高」
+山道を歩き,標高差がちょうどkメートルになるような区間を探す.（数を数える問題から区間を列挙する問題に置き換え）
+- スタート地点の標高は0メートル
+- 歩くたびに標高が増減する（numsの値だけ増減. つまりnumsは各地点間の標高差を表している）
+- 標高差がちょうどkメートルになるような区間を列挙する
+
+これを解くには, 歩きながら「各標高を通ったときの地点」を記録するメモ係が必要. メモの最初には標高0メートルの欄がある.
+区間の見つけ方：
+現在の標高が 10m で、標高差 k = 7m の区間を探したいとき => 標高3mの地点があるかをメモ係に問い合わせ, その時の地点をスタートとして区間とする.
+
+### フォローアップ・発展をちょっと考えてみる
+- 合計がk以下の部分配列を求める => 今回のアルゴリズムだと難しい.
+    - 配列の要素がすべて正の整数（例のケースだとだんだん山が高くなるケース） => 時間: O(n), 空間: O(1)で解ける.
+    - 解法はスライディングウィンドウ&two pointer（観測者を2人用意）
+こんな感じ
+```py
+def countSubarrays(nums, k):
+    count = 0
+    total = 0
+    left = 0
+
+    for right in range(len(nums)):
+        total += nums[right]
+        while total > k and left <= right:
+            total -= nums[left]
+            left += 1
+        # [left, right] の範囲内のすべての部分配列が条件を満たす
+        count += right - left + 1
+
+    return count
+```
+
+## Step3
+```py
+class Solution:
+    def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
+        cumsum_to_freq = {0:1}
+        total = 0
+        count = 0
+        for num in nums:
+            total += num
+            if total - k in cumsum_to_freq:
+                count += cumsum_to_freq[total - k]
+
+            cumsum_to_freq[total] = cumsum_to_freq.get(total, 0) + 1
+
+        return count
+```